等比数列

等比数列求和公式分两种：有限项求和和无穷项求和。

若等比数列首项为 $a_1$，公比为 $q$，则前 $n$ 项和记为

$$S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^{n-1}$$

当 $q\ne 1$ 时，

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

也常写成

$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$

这两个式子完全等价。

当 $q=1$ 时，数列每一项都等于 $a_1$，所以

$$S_n=n{a}_1$$

如果是无穷等比级数

$$a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots$$

只有在

$$|q|<1$$

时才收敛，这时它的和为

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

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