1. 什么是常微分方程

常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是指未知函数只依赖于一个自变量，并且方程中出现这个未知函数及其各阶导数的方程。

一般形式可写为

F (x, y, y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)}) = 0.

其中：

$x$ 是自变量；
$y = y (x)$ 是未知函数；
$y^{'}, y^{''}, \dots, y^{(n)}$ 是它的导数。

如果未知函数依赖多个自变量，那就是偏微分方程，而不是常微分方程。

2. 阶、解、通解、特解

2.1 阶

方程中出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

例如：

y^{''} + 3 y^{'} - 2 y = 0

是二阶常微分方程。

2.2 解

若某个函数 $y = φ (x)$ 代入方程后，使方程恒成立，则称 $φ (x)$ 是这个微分方程的一个解。

2.3 通解

含有与方程阶数相同个数任意常数的解，叫做通解。

例如：

y^{'} = 2 x

的通解为

y = x^{2} + C .

2.4 特解

给定附加条件后，从通解中确定常数得到的具体解，叫特解。

例如若再给初值条件

y (0) = 1,

则由

y = x^{2} + C

得 $C = 1$ ，故特解为

y = x^{2} + 1.

3. 初始条件与边界条件

3.1 初值问题

在某一点给出函数值及若干导数值，例如：

y^{''} + y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0.

这叫初值问题。

3.2 边值问题

在两个不同点给出条件，例如：

y^{''} + y = 0, y (0) = 0, y (π) = 0.

这叫边值问题。

4. 微分方程的基本思想

微分方程研究的核心是：

已知一个量的变化规律，反过来求这个量本身。

也就是说，导数描述“变化率”，微分方程则把“变化率与函数本身之间的关系”写成方程，再去求函数。

比如：

速度是位置的导数；
加速度是速度的导数，也是位置的二阶导数；
人口增长率与人口本身成正比；
电路中的电流、电压满足某种变化关系。

这些都能导向常微分方程。

5. 一阶常微分方程

5.1 可分离变量方程

形式：

\frac{d y}{d x} = f (x) g (y) .

若能写成

\frac{1}{g ( y )}, d y = f (x), d x,

则称为可分离变量方程。

求解步骤

把含 $y$ 的项和 $d y$ 放一边；
把含 $x$ 的项和 $d x$ 放一边；
两边积分；
整理得到解。

例子

\frac{d y}{d x} = x y

分离变量得

\frac{1}{y}, d y = x, d x .

积分得

\int \frac{1}{y}, d y = \int x, d x,

即

ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + C .

所以

y = C e^{x^{2} /2} .

5.2 一阶线性方程

标准形式：

y^{'} + P (x) y = Q (x) .

这是最重要的一类一阶方程。

解法：积分因子法

引入积分因子

μ (x) = e^{\int P (x), d x} .

然后原方程两边同乘 $μ (x)$ ，左边会变成一个乘积的导数：

μ y^{'} + μ P y = (μ y)^{'} .

于是有

(μ y)^{'} = μ Q .

两边积分：

μ y = \int μ Q, d x + C .

所以

y = \frac{1}{μ ( x )} (\int μ (x) Q (x), d x + C) .

例子

y^{'} + 2 y = e^{x} .

积分因子为

μ (x) = e^{\int 2 d x} = e^{2 x} .

两边乘上 $e^{2 x}$ ：

e^{2 x} y^{'} + 2 e^{2 x} y = (e^{2 x} y)^{'} = e^{3 x} .

积分得

e^{2 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C .

因此

y = \frac{1}{3} e^{x} + C e^{- 2 x} .

5.3 齐次方程（这里指一阶可化齐次）

形式：

\frac{d y}{d x} = F (\frac{y}{x}) .

这类方程可设

y = ux 或 u = \frac{y}{x} .

因为

y = ux \Rightarrow y^{'} = u + x u^{'} .

代回原方程，就能把它化成关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量方程。

例子

y^{'} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x} .

令

u = \frac{y}{x}, y = ux, y^{'} = u + x u^{'} .

代入得

u + x u^{'} = 1 + u .

所以

x u^{'} = 1,

即

u^{'} = \frac{1}{x} .

积分得

u = ln ∣ x ∣ + C .

因此

y = x (ln ∣ x ∣ + C) .

5.4 Bernoulli 方程

形式：

y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}, n \neq = 0, 1.

它不是线性的，但可以通过变量代换化为线性方程。

令

z = y^{1 - n},

则可将原式化为关于 $z$ 的一阶线性方程。

这是考试中很常见的一类。

5.5 恰当方程

形式：

M (x, y), d x + N (x, y), d y = 0.

若存在某个函数 $Φ (x, y)$ ，使得

d Φ = Φ_{x}, d x + Φ_{y}, d y = M, d x + N, d y,

即

Φ_{x} = M, Φ_{y} = N,

则原方程称为恰当方程。

判别条件

若 $M, N$ 在区域内一阶偏导连续，并满足

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},

则方程是恰当的。

解法

找到势函数 $Φ (x, y)$ ，则解为

Φ (x, y) = C .

例子

(2 x y + 1), d x + (x^{2} + 3 y^{2}), d y = 0.

这里

M = 2 x y + 1, N = x^{2} + 3 y^{2} .

计算得

M_{y} = 2 x, N_{x} = 2 x,

所以是恰当方程。

令

Φ_{x} = 2 x y + 1,

对 $x$ 积分：

Φ = x^{2} y + x + g (y) .

再对 $y$ 求偏导：

Φ_{y} = x^{2} + g^{'} (y) .

与 $N = x^{2} + 3 y^{2}$ 对比得

g^{'} (y) = 3 y^{2},

所以

g (y) = y^{3} .

故通解为

x^{2} y + x + y^{3} = C .

6. 二阶线性常微分方程

6.1 标准形式

二阶线性方程一般写作

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x) .

其中：

若 $R (x) = 0$ ，称为齐次方程；
若 $R (x) \neq = 0$ ，称为非齐次方程。

6.2 二阶线性齐次方程的性质

设

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0.

如果 $y_{1}, y_{2}$ 是两个解，那么任意线性组合

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

仍然是解。

如果 $y_{1}, y_{2}$ 线性无关，那么通解就是

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} .

6.3 常系数齐次线性方程

形式：

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0.

核心思想：设解为指数形式

y = e^{r x} .

代入得特征方程

a r^{2} + b r + c = 0.

接下来分三种情况。

情形 1：两个不同实根 $r_{1} \neq = r_{2}$

通解为

y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x} .

情形 2：重根 $r_{1} = r_{2} = r$

通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{r x} .

情形 3：共轭复根 $r = α \pm β i$

通解为

y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x) .

例 1

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0.

特征方程：

r^{2} - 5 r + 6 = 0,

即

(r - 2) (r - 3) = 0.

故通解为

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x} .

例 2

y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0.

特征方程：

r^{2} - 4 r + 4 = 0 = (r - 2)^{2} .

故通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x} .

例 3

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0.

特征方程：

r^{2} + 2 r + 5 = 0.

解得

r = - 1 \pm 2 i .

故通解为

y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x) .

6.4 非齐次线性方程

形式：

a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x) .

其通解结构为

y = y_{h} + y_{p},

其中：

$y_{h}$ 是对应齐次方程的通解；
$y_{p}$ 是原非齐次方程的一个特解。

这叫做“通解 = 齐次通解 + 一个特解”。

6.5 常系数非齐次方程的待定系数法

适用于右端 $f (x)$ 是以下类型的有限组合：

多项式；
指数函数；
$sin, cos$ ；
它们的乘积。

基本想法

根据右端形式猜测特解形式，再代入确定系数。

例子

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x} .

先解齐次方程：

r^{2} - 3 r + 2 = 0 \Rightarrow r = 1, 2.

故

y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} .

右端是 $e^{x}$ ，但 $e^{x}$ 已经在齐次解中出现，所以要乘 $x$ ，设

y_{p} = A x e^{x} .

代回求出 $A$ ，即可得到特解。

7. 降阶法与结构记忆

7.1 已知一个解时降阶

对于二阶齐次线性方程

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0,

若已知一个非零解 $y_{1} (x)$ ，可设另一个解为

y_{2} (x) = v (x) y_{1} (x),

代入后求 $v (x)$ 。

这是“已知一个解，求另一个线性无关解”的标准套路。

7.2 结构记忆

对二阶线性方程，要优先记住这几件事：

齐次方程先找基础解；
通解是线性组合；
非齐次方程就是“齐次解 + 特解”；
常系数方程先写特征方程。

8. 高阶线性方程

一般 $n$ 阶线性方程：

y^{(n)} + a_{1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{n} (x) y = f (x) .

若是常系数齐次方程：

a_{0} y^{(n)} + a_{1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{n} y = 0,

仍可设

y = e^{r x},

得到特征方程

a_{0} r^{n} + a_{1} r^{n - 1} + \dots + a_{n} = 0.

然后根据根的类型写出通解。

规则

实根 $r$ 对应 $e^{r x}$ ；
$m$ 重根 $r$ 对应

e^{r x}, x e^{r x}, x^{2} e^{r x}, \dots, x^{m - 1} e^{r x};

共轭复根 $α \pm β i$ 对应

e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x .

9. 常微分方程组

9.1 一阶线性方程组

形式：

x^{'} = A x,

其中 $x$ 是向量， $A$ 是常数矩阵。

例如：

{x^{'} = 2 x + y, y^{'} = x + 2 y .

可写成

(x y)^{'} = (2112) (x y) .

9.2 解题思想

核心是找矩阵 $A$ 的特征值与特征向量。

若 $λ$ 是特征值， $v$ 是对应特征向量，则

x = e^{λ t} v

是方程组的一个解。

然后把所有线性无关解组合起来，构成通解。

10. 存在唯一性定理的直觉

考虑初值问题

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0} .

直觉上，给定一个点和斜率场，我们希望通过这个点只有一条解曲线。

经典结论是：

如果 $f (x, y)$ 在某区域内连续，并且对 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 也连续，那么经过初值点附近通常存在唯一解。

你可以把它理解为：

连续性保证“解能长出来”；
对 $y$ 的良好控制保证“不会岔开成多条”。

11. 解的几何意义

微分方程

y^{'} = f (x, y)

可以看成在平面上每一点 $(x, y)$ 都规定了一个斜率 $f (x, y)$ 。

这叫方向场或斜率场。

解曲线就是一条处处与该方向场切向一致的曲线。

所以微分方程不仅是代数方程，更是在描述一族曲线的局部方向规律。

12. 平衡点与稳定性

对自治方程

y^{'} = f (y),

若某点 $y_{*}$ 满足

f (y_{*}) = 0,

则称 $y_{*}$ 为平衡点。

因为当 $y = y_{*}$ 时，

y^{'} = 0,

解保持不变。

稳定性的直觉

看 $y_{*}$ 附近的流向：

若解会回到 $y_{*}$ 附近，则稳定；
若解会远离 $y_{*}$ ，则不稳定。

例如：

y^{'} = y (1 - y) .

平衡点为

y = 0, y = 1.

通过符号分析：

在 $0 < y < 1$ 时， $y^{'} > 0$ ；
在 $y > 1$ 时， $y^{'} < 0$ ；
在 $y < 0$ 时， $y^{'} < 0$ 。

所以 $y = 1$ 稳定， $y = 0$ 不稳定。

13. 常见模型

13.1 指数增长模型

y^{'} = k y .

解为

y = C e^{k x} .

意义：增长率与自身成正比。

13.2 Logistic 模型

y^{'} = r y (1 - \frac{y}{K}) .

其中：

$r$ 是增长率；
$K$ 是环境容量。

当 $y$ 很小时，近似指数增长；

当 $y$ 接近 $K$ 时，增长变慢。

13.3 简谐振动

y^{''} + ω^{2} y = 0.

通解为

y = C_{1} cos ω x + C_{2} sin ω x .

表示理想无阻尼振动。

13.4 阻尼振动

m y^{''} + c y^{'} + k y = 0.

由特征根决定系统是：

过阻尼；
临界阻尼；
欠阻尼。

这是物理中非常经典的模型。

14. 解题总思路

拿到一个微分方程，通常按下面顺序判断。

14.1 一阶方程先看类型

先看是不是：

可分离变量；
一阶线性；
可化齐次；
Bernoulli；
恰当方程。

很多题目本质上是“识别类型”。

14.2 二阶方程先看是不是线性

若是二阶线性方程，再看：

是否常系数；
是否齐次；
右端是什么形式；
能否用待定系数法。

14.3 方程组先矩阵化

写成

x^{'} = A x

再看特征值与特征向量。

15. 很容易混淆的几点

15.1 线性方程不等于齐次方程

线性方程是指未知函数及其导数都只一次出现，且彼此不相乘。

例如

y^{'} + p (x) y = q (x)

是线性的。

当 $q (x) = 0$ 时，它才是齐次线性方程。

所以：

线性：看结构；
齐次：看右端是否为 $0$ 。

15.2 “齐次方程”有时有两种含义

在不同章节里，“齐次”可能指：

线性方程右端为 $0$ ；
一阶方程中可写成 $y^{'} = F (y / x)$ 。

这两个“齐次”不是一个概念，做题时要结合上下文判断。

15.3 通解中的常数个数

$n$ 阶微分方程的通解一般应含有 $n$ 个独立常数。

如果少了，通常说明没有找全；

如果多了，通常说明有冗余。

16. 一个总整理

16.1 一阶方程最常见方法

可分离变量法；
积分因子法；
变量代换法；
恰当方程法。

16.2 二阶线性方程最常见方法

特征方程法；
待定系数法；
降阶法；
参数变易法（如果课程讲到的话）。

16.3 核心结构一定要记住

对于线性方程：

L [y] = f (x) .

其思想是：

先解齐次方程 $L [y] = 0$ ；
再找一个非齐次特解；
最后相加。

即

y = y_{h} + y_{p} .

这是线性理论最重要的骨架。

17. 复习时的最小记忆清单

复习时至少要把下面这些记牢：

可分离变量方程如何分离并积分；
一阶线性方程的积分因子

μ (x) = e^{\int P (x), d x};

二阶常系数齐次方程的特征方程法；
非齐次方程的通解结构

y = y_{h} + y_{p};

重根、复根对应的解形式；
初值问题中如何代入条件求常数。

18. 一句话总结

常微分方程研究的是：已知变化规律，反求函数本身。

而解题的关键通常不是“硬算”，而是先识别它属于哪一类，再调用对应方法。

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常微分方程

1. 什么是常微分方程

2. 阶、解、通解、特解

2.1 阶

2.2 解

2.3 通解

2.4 特解

3. 初始条件与边界条件

3.1 初值问题

3.2 边值问题

4. 微分方程的基本思想

5. 一阶常微分方程

5.1 可分离变量方程

求解步骤

例子

5.2 一阶线性方程

解法：积分因子法

例子

5.3 齐次方程（这里指一阶可化齐次）

例子

5.4 Bernoulli 方程

5.5 恰当方程

判别条件

解法

例子

6. 二阶线性常微分方程

6.1 标准形式

6.2 二阶线性齐次方程的性质

6.3 常系数齐次线性方程

情形 1：两个不同实根 r1​=r2​

情形 2：重根 r1​=r2​=r

情形 3：共轭复根 r=α±βi

例 1

例 2

例 3

6.4 非齐次线性方程

6.5 常系数非齐次方程的待定系数法

基本想法

例子

7. 降阶法与结构记忆

7.1 已知一个解时降阶

7.2 结构记忆

8. 高阶线性方程

规则

9. 常微分方程组

9.1 一阶线性方程组

9.2 解题思想

10. 存在唯一性定理的直觉

11. 解的几何意义

12. 平衡点与稳定性

稳定性的直觉

13. 常见模型

13.1 指数增长模型

13.2 Logistic 模型

13.3 简谐振动

13.4 阻尼振动

14. 解题总思路

14.1 一阶方程先看类型

14.2 二阶方程先看是不是线性

14.3 方程组先矩阵化

15. 很容易混淆的几点

15.1 线性方程不等于齐次方程

15.2 “齐次方程”有时有两种含义

15.3 通解中的常数个数

16. 一个总整理

16.1 一阶方程最常见方法

16.2 二阶线性方程最常见方法

16.3 核心结构一定要记住

17. 复习时的最小记忆清单

18. 一句话总结

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情形 1：两个不同实根 $r_{1} \neq = r_{2}$

情形 2：重根 $r_{1} = r_{2} = r$

情形 3：共轭复根 $r = α \pm β i$